سلسلة Maclaurin وتحلل وظائف معينة

يجب أن تكون دراسة الرياضيات الأعلى معروفة ،أن مجموع سلسلة الطاقة التي تنتمي إلى فترة تقارب السلسلة المعطاة هو دالة متمايزة تكون متواصلة وغير محدودة عدة مرات. السؤال الذي يطرح نفسه: هل من الممكن التأكيد على أن وظيفة تعسفية معينة و (س) هي مجموع سلسلة الطاقة؟ أي ، ما هي الشروط التي يمكن أن يمثلها f (x) بسلسلة من القوى؟ تكمن أهمية مثل هذا السؤال في أنه من الممكن استبدال f (x) تقريبًا بمجموع عدة مصطلحات أولية في سلسلة القدرة ، أي كثيرات الحدود. مثل هذا الاستبدال لوظيفة من خلال تعبير بسيط إلى حد ما - متعدد الحدود - هو أيضا مناسب في حل بعض المشاكل في التحليل الرياضي ، وهي: في حل التكاملات ، في حساب المعادلات التفاضلية ، وهكذا.

ثبت أنه بالنسبة لبعض الوظائف f و (x) التي يمكن فيها حساب المشتقات حتى (n + 1) -th ، بما في ذلك آخرها ، في حي (α) - R ؛ س₀ + R) من نقطة x = α ، تكون الصيغة التالية صالحة:

تحمل هذه الصيغة اسم العالم الشهير بروك تايلور. تسمى السلسلة التي تم الحصول عليها من السابق سلسلة Maclaurin:

قاعدة تجعل من الممكن تحليلها إلى سلسلة Maclaurin:

1. تحديد مشتقات الأوامر الأول والثاني والثالث ...
2. حساب ما المشتقات في س = 0 تساوي.
3. سجل سلسلة Maclaurin لدالة معينة ، ثم حدد الفاصل الزمني للتقارب الخاص بها.
4. حدد الفاصل الزمني (-R؛ R) ، حيث تبقى الصيغة Maclaurin

R_ن(x) -> 0 مثل n -> اللانهاية. في حالة وجودها ، يجب أن تتطابق الدالة f (x) في ذلك مع مجموع سلسلة Maclaurin.

نحن الآن نعتبر سلسلة Maclaurin للوظائف الفردية.

1. وهكذا ، فإن الأول هو f (x) = e^س. وبالطبع ، من حيث تفرداتها ، فإن مثل هذه الوظيفة لها مشتقات ذات أوامر مختلفة للغاية ، و f^(K)(س) = هـ^سحيث k تساوي كل الأعداد الطبيعية. نحن بديل x = 0. نحصل على f^(K)(0) = هـ⁰= 1، k = 1،2 ... انطلاقا مما تقدم ، السلسلة e^س سيبدو هكذا:

2. سلسلة Maclaurin للدالة f (x) = sin x. على الفور ، نوضح أن φ-th لجميع المجهولين سيكون لديهم مشتقات ، بالإضافة إلى f^"(x) = cos x = sin (x + n / 2)، f^""(x) = -sin x = sin (x + 2 * n / 2) ...، f^(K)(x) = sin (x + k * n / 2) ، حيث تساوي k أي عدد طبيعي. بمعنى ، من خلال إجراء حسابات بسيطة ، يمكننا التوصل إلى استنتاج مفاده أن السلسلة الخاصة بـ f (x) = sin x ستكون على الشكل:

3. الآن نحاول النظر في الدالة f (x) = cos x. لديها مشتقات من النظام التعسفي لجميع المجهولين ، و | f^(K)(خ) | = | كوس (س + ك * ن / 2) | <= 1، ك = 1،2 ... مرة أخرى، بعد أن حققت بعض الحسابات، نجد أن سلسلة لو (خ) = جتا س سيبدو هذا:

لذلك ، قمنا بإدراج أهم الوظائفيمكن أن تتحلل إلى سلسلة Maclaurin ، ولكنها تكملها سلسلة تايلور لبعض الوظائف. الآن نحن سردهم. تجدر الإشارة أيضًا إلى أن سلسلة Taylor و Maclaurin جزء مهم من ورشة حل سلسلة في الرياضيات العليا. لذا ، فإن سلسلة تايلور.

1. الأول هو سلسلة الدالة f (x) = ln (1 + x). كما في الأمثلة السابقة ، بالنسبة إلى f (x) = ln (1 + x) يمكننا إضافة سلسلة باستخدام النموذج العام من سلسلة Maclaurin. ومع ذلك ، لهذه الدالة يمكن الحصول على سلسلة Maclaurin أبسط من ذلك بكثير. دمج بعض سلسلة هندسية ، نحصل على سلسلة ل f (x) = ln (1 + x) من هذه العينة:

2. والثانية ، التي ستكون نهائية في ورقتنا ، ستكون سلسلة f (x) = arctg x. بالنسبة إلى x الذي ينتمي إلى الفاصل الزمني [-1؛ 1] ، يكون التوسيع صالحًا:

هذا كل شئ في هذه المقالة ، تم النظر في سلسلة الأكثر استخداما من تايلور وماكلورين في الرياضيات العليا ، على وجه الخصوص ، في الجامعات الاقتصادية والتقنية.