نظرية الجيب. حل مثلثات

دراسة المثلثات تثير السؤالعلى حساب العلاقة بين جوانبها وزواياها. في الهندسة ، تعطي نظرية الجيب ونسخة الجيب الإجابة الأكثر اكتمالاً لحل هذه المشكلة. في الكثير من التعبيرات والصيغ الرياضية المختلفة والقوانين والنظريات والقواعد ، هناك اختلاف في التناغم الاستثنائي والإيجاز والبساطة في نقل المعنى المتضمن فيها. نظرية الجيب هي مثال حي على هذه الصيغة الرياضية. إذا كان في التفسير اللفظي هناك أيضاً عقبة معينة في فهم هذه القاعدة الرياضية ، فعندما تنظر إلى الصيغة الرياضية ، فإن كل شيء يقع على الفور.

تم العثور على المعلومات الأولى عن هذه النظرية في شكل دليل لها في إطار العمل الرياضي من نصير الدين الطوسي ، مؤرخة في القرن الثالث عشر.

الاقتراب من النظر في العلاقةالجوانب والزوايا في أي مثلث ، تجدر الإشارة إلى أن نظرية الجيب تسمح حل الكثير من المشاكل الرياضية ، في حين أن هذا القانون للهندسة يجد تطبيقه في أنواع مختلفة من النشاط البشري العملي.

تنص نظرية النظرية نفسها على أي شيءيتميز المثلث بالتناسب بين الجوانب إلى جيب الزوايا المقابلة. يوجد أيضًا الجزء الثاني من هذه النظرية ، والذي بموجبه تساوي نسبة أي جانب من المثلث إلى جيب الزاوية المعاكسة لقطر الدائرة الموصوفة بالقرب من المثلث قيد النظر.

في صيغة صيغة ، يبدو هذا التعبير

a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R

لديه مبرر لاثنين من الأدلة ، والتي يتم تقديمها في إصدارات مختلفة من الكتب المدرسية في مجموعة متنوعة غنية من الإصدارات.

على سبيل المثال ، ضع في الاعتبار أحد الأدلة التي توضح الجزء الأول من النظرية. لهذا ، دعونا نضع هدف إثبات صحة التعبير ل سينك = ج سينا.

في المثلث التعسفي ABC ، ​​نقوم ببناء الارتفاعBH. في أحد متغيرات البناء ، سوف يكمن H في الجزء AC ، وفي الآخر خارجها ، اعتمادًا على الزوايا الموجودة في رؤوس المثلثات. في الحالة الأولى ، يمكن التعبير عن الارتفاع من حيث زوايا وجوانب المثلث ، مثل BH = a sinC و BH = c sinA ، وهو الدليل المطلوب.

في الحالة التي تكون فيها النقطة H خارج حدود الجزء AC ، يمكننا الحصول على الحلول التالية:

BH = a sinC and BH = c sin (180-A) = c sinA؛

أو BH = sin (180-C) = sinC و BH = c sinA.

كما نرى ، بغض النظر عن خيارات البناء ، نأتي إلى النتيجة المرجوة.

والدليل على الجزء الثاني من النظرية يتطلب ذلكنحن نصف دائرة حول المثلث. من خلال واحدة من مرتفعات المثلث ، على سبيل المثال B ، نقوم ببناء قطر الدائرة. احصل على نقطة على الدائرة D بإحدى ارتفاع المثلث ، دعها تكون النقطة A للمثلث.

إذا اعتبرنا المثلثات الناتجة و ABDABC، يمكننا أن نرى المساواة بين زوايا C و D (لأنها تستند إلى نفس القوس). وبالنظر إلى أن زاوية A تساوي تسعين درجة الخطيئة D = ج / 2R، أو خطيئة C = ج / 2R، وهو المطلوب.

نظرية الجيب هي نقطة الانطلاق لحل مجموعة واسعة من المهام المختلفة. جاذبية معين هو التطبيق العملي لها، كنتيجة طبيعية لنظرية ونحن قادرون على ربط قيمة الجانبين مثلث، زوايا معارضة ودائرة نصف قطرها (قطر) من دائرة محيطة حول مثلث. البساطة وتوفر صيغة واصفا هذا التعبير الرياضي، يسمح لاستخدام على نطاق واسع هذه النظرية من أجل حل المشاكل عن طريق مختلف الأجهزة الميكانيكية المعدودة (مسطرة حاسبة، والجداول، وهكذا دواليك.)، ولكن حتى وصول أجهزة حوسبة قوية الشخص الخدمة لا يتم تخفيض أهمية هذه النظرية.

لا يتم تضمين هذه النظرية فقط في المسار الإلزامي لهندسة المدرسة الثانوية ، بل يتم تطبيقها أيضًا في فروع معينة من النشاط العملي.